שיעורי בית 1 – חוק המשיכה

פתרונות

r = 8·10⁶ m, V = 6371 m/s, Rn = 6.05·10⁶ m

א.

T = ?

V = ωr

V = (2π/T)·r

T = 2πr/V

T = 2π·8·10⁶/6371 = 7889.7

T = 7890s

ב.

h = ?

h = r – Rn

h = 8·10⁶ – 6.05·10⁶

h = 1.95·10⁶ m

F = 1.8·10³ N

ג.

m = ?

F = maᵣ

F = m·V²/r

m = F·r/V²

m = 1.8·10³·8·10⁶/(6371)² = 354

m = 354 kg

ד.

T = 2πr/V

m לא מופיע בנוסחה משום שהוא מצטמצם ולכן זמן המחזור T יישאר אותו הדבר.

פתרונות

m = 120 kg, Mᴀ = 6.4·10²³ kg, rᴀ = 8·10⁶ m, rʙ = 1.2·10⁷ m.

א.

Mʙ = ?

Fᴀ = Fʙ

G·Mᴀ·m/rᴀ² = G·Mʙ·m/rʙ² /: (G·m)

Mᴀ/rᴀ² = Mʙ/rʙ²

Mʙ = Mᴀ·(rʙ/rᴀ)²

Mʙ = 6.4·10²³·(1.2·10⁷/8.0·10⁶)² = 6.4·10²³·(1.5)²

Mʙ = 1.44·10²⁴ kg

ב.

F = ?

F = G·Mᴀ·m/rᴀ²

F = 6.67·10⁻¹¹·6.4·10²³·120/(8·10⁶)² = 80.04

F = 80N

ג.

להתרחק, Fᴀ > Fʙ.

זה יגרום לגוף להתקרב לכוכב ᴀ.

פתרונות

r = 3.84·10⁸ m, T = 27.3 d = 2.358·10⁶m

א.

Me = ?

F = maᵣ

GMe·Mₘ/r² = Mₘ·ω²r /: Mₘ

GMe·/r² = ω²r

GMe·/r² = (2π/T)²·r

Me = 4π²·r³/(G·T²)

Me = 4π²·(3.84·10⁸)³/(6.67·10⁻¹¹·(2.358·10⁶)²)

Me = 6.027·10²⁴ kg

m = 600 kg, rₘ = 2.5·10⁶ m, Mₘ = 7.35·10²² kg.

ב.

F = maᵣ

GMₘm/rₘ² = m·V²/rₘ /: (m/rₘ)

V² = G·Mₘ/rₘ

V = √(G·Mₘ/rₘ)

V = √(6.67·10⁻¹¹·7.35·10²²/2.5·10⁶)

V = 1400 m/s

ג.

T = 2πrₘ/V

T = 2·3.14·2.5·10⁶/1400

T = 11,217 s = 3.11h

ד.

Fe/Fₘ = ?

Fe = GMe·m/re²

Fₘ = GMₘ·m/rₘ²

Fe/Fₘ = (GMe·m/re²) / (GMₘ·m/rₘ²)

Fe/Fₘ = Me·rₘ² / Mₘ·re²

כאשר הלוויין נמצא בנקודה הקרובה ביותר לכדור הארץ:

re = r – rₘ = 3.84·10⁸ – 2.5·10⁶ = 3.815·10⁸ m

Fe/Fₘ = 5.974·10²⁴·(2.5·10⁶)² / 7.35·10²²·(3.815·10⁸)²

Fe/Fₘ = 3.49·10⁻³ ≈ 0.0035

כוח הכבידה של הירח על הלוויין גדול פי כ-286 מכוח הכבידה של כדור הארץ על הלוויין.

פתרונות

R = 4.8·10⁶m, m = 280kg, h = 2.5·10⁶m, T = 4.2h = 15,120s

א.

M = ?

F = maᵣ

GMm/r² = m·ω²r /: m

GM/r² = ω²r

GM/r² = (2π/T)²·r

GM/r² = 4π²r/T²

M = 4π²r³/GT²

r = R + h = 4.8·10⁶ + 2.5·10⁶ = 7.3·10⁶ m

M = 4π²·(7.3·10⁶)³/(6.67·10⁻¹¹·(15,120)²)

M = 4π²·3.89·10²⁰/(6.67·10⁻¹¹·2.29·10⁸)

M = 10²⁴ kg

ב.

g = ?

g = GM/R²

g = 6.67·10⁻¹¹·10²⁴/(4.8·10⁶)² = 2.89

g = 2.9m/s²

ג.

μₛ = 0.3, r = 180 m

V𝚖𝚊𝚡 = ?

F = maᵣ

fs𝚖𝚊𝚡 = maᵣ

mgμₛ = mV𝚖𝚊𝚡²/r

V𝚖𝚊𝚡 = √(grμₛ)

V𝚖𝚊𝚡 = √(2.89·180·0.3)

V𝚖𝚊𝚡 = 12.5 m/s

ד.

r’ = 2r = 360 m

V𝚖𝚊𝚡‘ = ?

V𝚖𝚊𝚡‘ = √(gr’μₛ)

V𝚖𝚊𝚡‘= √(2.89·360·0.3)

V𝚖𝚊𝚡‘ = 17.66 m/s

V𝚖𝚊𝚡’/V𝚖𝚊𝚡 = √(2) ≈ 1.41

המהירות המקסימלית תגדל פי 2√ כאשר רדיוס המסלול גדל פי 2. זה נובע מכך שהמהירות המקסימלית פרופורציונית לשורש של הרדיוס.

פתרונות

Mᴄ = 8.5·10²⁹kg , Mᴅ = 6.3·10²⁹kg , d = 9.6·10⁹m

א.

X = ?

Fᴄ = Fᴅ

G·Mᴄ·m/rc² = G·Mᴅ·m/rᴅ² /: (G·m)

G·Mᴄ·m/X² = G·Mᴅ·m/(d-X)² /: (G·m)

Mᴄ/X² = Mᴅ/(d – X)²

8.5·10²⁹/X² = 6.3·10²⁹/(9.6·10 ⁹- X)²

8.5/X² = 6.3/(9.6·10⁹ – X)²

8.5(9.6·10⁹ – X)² = 6.3X² /√

2.915(9.6·10⁹ – X) = 2.509X /: 2.915

9.6·10⁹-X = 0.861X

1.861X = 9.6·10⁹ /: 1.861

X = 5.158·10⁹

 

r𝑐 = 5.158·10⁹, rᴅ = 4.442·10⁹

h𝑐 = 3.5·10⁷ m, hᴅ = 5.6·10⁷ m

ב.

R𝑐/Rᴅ = ?

R𝑐 = r𝑐 – h𝑐 = 5.158·10⁹ – 3.5·10⁷ = 5.123·10⁹

Rᴅ = rᴅ – hᴅ = 4.442·10⁹ – 5.6·10⁷ = 4.386·10⁹

R𝑐/Rᴅ = 5.123·10⁹/(4.386·10⁹) = 1.168

R𝑐/Rᴅ = 1.17

ג.

r = 5.2·10⁷ m

V = ?

F𝑐 = maᵣ

G·M𝑐·m/r² = m·V²/r

G·M𝑐/r = V²

V = √(G·M𝑐/r)

V = √(6.67·10⁻¹¹·8.5·10²⁹/5.2·10⁷)

V = 1.044·10⁶m/s

ד.

V’ = ?

F = maᵣ

G·Mᴄ·m’/r² = m’·V’²/r

G·Mᴄ/r = V’²

V’ = √(G·Mᴄ/r)

V’ = V

להישאר ללא שינוי.

הסיבה היא שמסת החללית מתקזזת בנוסחה של תנועה מעגלית בשדה כבידה, לכן גם אם המסה גדלה פי 1.5, המהירות הדרושה לאותו רדיוס מסלול נשארת זהה.

פתרונות

h = 450km = 4.5·10⁵m , R = 2.44·10⁶m,

M = 0.330·10²⁴kg , k = 12N/m , m = 0.2kg

 

r = R + h

r = 2.44·10⁶ + 4.5·10⁵ = 2.89·10⁶

r = 2.89·10⁶m

א.

aᵣ = ?

aᵣ = GM/r²

aᵣ = (6.67·10⁻¹¹ · 0.330·10²⁴)/(2.89·10⁶)²

aᵣ = 2.201·10¹³/8.352·10¹²

aᵣ = 2.635 m/s²

ב.

ΔX = ?

בתנועה מעגלית במסלול, החללית והכדור נמצאים במצב של נפילה חופשית יחד. 

הכדור חווה את אותה תאוצה כמו החללית (aᵣ = 2.635 m/s²) כלפי מרכז כוכב הלכת חמה.

 

לכן, אין כוח יחסי בין הכדור לחללית ← הקפיץ נמצא באורכו הטבעי.

 

ΔX = 0

ג.

כאשר החללית מאטה ויוצאת ממסלול מעגלי ליפול חופשית:

– החללית והכדור נעים יחד בנפילה חופשית

– שניהם חווים את אותה תאוצה כלפי מרכז כוכב הלכת חמה

– אין כוח יחסי ביניהם

 

המתיחות בקפיץ לא תשתנה – הקפיץ יישאר באורכו הטבעי.

 

ד.

היגד 1 – הכדור והקפיץ ינועו שמאלה.

 

הסבר: כאשר אסטרואיד פוגע בחללית מצד שמאל, החללית מקבלת דחף ימינה ומאיצה ימינה.

הכדור, בגלל האינרציה שלו, נוטה להישאר במקומו ולכן יזוז יחסית לחללית שמאלה.

הקפיץ יתמתח כיוון שהחללית נמשכת ימינה והכדור נשאר מאחור (נע שמאלה יחסית לחללית).